Quando uma violação não é uma violação?

Uma estrela num tableau é uma coisinha estranhamente absoluta. Ou você violou uma restrição, ou não violou; a marca é um um ou um zero, ou um número inteiro pequeno se você foi descuidado mais de uma vez. Para os candidatos para os quais essa maquinaria foi feita (kager1999optimality) — cadeias de segmentos — isso me serve muito bem. Uma sílaba ou tem uma coda ou não tem, e NoCoda pode dizer isso com uma única estrela.

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Agora entregue a essa mesma maquinaria algo que chegou como um número — uma vogal sentada em algum primeiro formante. Nada em 541 Hz anuncia a que caixa ela pertence; é apenas um lugar numa linha. O movimento usual e sensato é picar a linha em intervalos, dar a cada intervalo uma contagem de violação, e voltar ao mundo confortável das estrelas.

O problema é a pequena promessa que uma faixa faz. Se eu decreto que tudo de 500 a 600 Hz "viola uma vez", então uma vogal que caiu em 505 Hz e outra que caiu em 595 Hz se tornam, no que diz respeito à gramática, o mesmo evento. Não são. Não estou tentando derrubar o vencedor de ninguém aqui — a contagem grosseira costuma coroar o mesmo candidato — mas parece uma pena achatar uma distinção que os dados fizeram questão de marcar.

Então, um pequeno experimento mental. E se a violação fosse uma função de onde a vogal de fato caiu, em vez da caixa em que a arquivamos? Arraste o candidato abaixo: a linha suave lê uma penalidade que cresce quanto mais a vogal se afasta de um alvo $\mu$. Depois marque agrupar e veja essa linha desabar numa escada. A escada é exatamente aquilo a que uma faixa nos compromete, e a pequena fresta que se abre é a nuance que combinamos não notar.

A penalidade que desenhei é a menos imaginativa disponível — uma distância ao quadrado, $v(F_1) = \left(\frac{F_1-\mu}{S}\right)^2$. Nada de profundo nela; ela só diz "mais perto é melhor, e azeda depressa". Ler uma violação a partir de uma curva suave em vez de uma contagem também não é uma indulgência nova: já se apontaram gramáticas de restrições para variáveis fonéticas contínuas antes, e o hábito mais amplo de deixar o detalhe fonético morar dentro das restrições é ainda mais antigo (lefkowitz2017maxent; flemming2001scalar).

Uma vez que as marcas são números em vez de estrelas, o resto quase se escreve sozinho. A mesma disputa, ponderada:

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A harmonia é a soma ponderada, $H(F_1) = w\,v(F_1)$, e se deixarmos essa harmonia fixar as probabilidades do jeito que uma gramática MaxEnt faz (goldwater2003learning), uma probabilidade se espalha pela linha inteira, $P(F_1)\propto e^{-H}$. O segundo painel a desenha. E aqui está a pequena piada que a álgebra conta: uma parábola no expoente é uma gaussiana disfarçada. Eleve a distância ao quadrado, pondere, exponencie — e cai uma corcova familiar sentada sobre $\mu$, estreita quando a gramática é exigente e larga quando é tranquila. O "alvo" era uma média o tempo todo.

$$P(F_1)\;\propto\;\exp\!\left[-\,w\left(\frac{F_1-\mu}{S}\right)^2\right].$$

Ajuda ver a aritmética em vez de acreditar em mim. Para uma única faixa e um único alvo, aqui está o quanto a promessa achatada da faixa se distancia da penalidade honesta, que depende da posição:

# Uma faixa de 100 Hz, um alvo. A faixa dá a toda vogal dentro dela a MESMA
# penalidade (o valor no centro da faixa); a penalidade honesta depende de onde
# a vogal de fato caiu.
mu, S = 550.0, 150.0
def v(x): return ((x - mu) / S) ** 2

lo, hi = 500.0, 600.0
faixa = v((lo + hi) / 2)          # a promessa achatada, para a faixa inteira

print(f"faixa {int(lo)}-{int(hi)} Hz   penalidade achatada = {faixa:.3f}")
for f1 in (505, 525, 545, 565, 595):
    honesta = v(f1)
    print(f"  F1={f1}   honesta={honesta:.3f}   descartado={abs(honesta - faixa):.3f}")

Nada disso diz que a escada está errada. O grão grosso costuma ser exatamente a dose certa de cuidado, e uma curva é simplesmente mais peças móveis para errar. A pergunta que fico remoendo é menor e mais silenciosa que isso: quando aquilo que medimos apareceu como um número, precisávamos mesmo arredondá-lo antes de deixar a gramática olhar? Às vezes, talvez, a distribuição das violações pudesse simplesmente seguir a distribuição dos dados, e dispensar as caixas de vez.

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  author       = {Alexandre Menezes Barroso},
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